Классическое определение вероятности.

Вероятность события –это количественная мера, которая вводится для сравнения событий по степени возможности их появления.

Событие, представимое в виде совокупности (суммы) нескольких элементарных событий, называется составным.

Событие, которое нельзя разбить на более простые, называется элементарным.

Событие называется невозможным, если оно не происходит никогда в условиях данного эксперимента (испытания).

Достоверные и невозможные события не являются случайными.

Совместные события – несколько событий называют совместными, если в результате эксперимента наступление одного из них не исключает появления других.

Несовместные события – несколько событий называют несовместными в данном эксперименте, если появление одного из них исключает появление других. Два события называются противоположными, если одно из них происходит тогда и только тогда, когда не происходит другое.

Вероятностью события А – Р(А) – называется отношение числа m элементарных событий (исходов), благоприятствующих появлению события А, к числу n всех элементарных событий в условиях данного вероятностного эксперимента.

Из определения вытекают следующие свойства вероятности:

1.Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между 0 и 1:

2. Вероятность достоверного события равна 1: (3)

3. Если событие невозможное, то его вероятность равна

4. Если события и несовместны, то

5. Если события А и В совместны, то вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного наступления:

Р(А+В) = Р(А) +Р(В) - Р(АВ) (6)

6. Если и - противоположные события, то (7)

7. Сумма вероятностей событий А 1 , А 2 , …, А n , образующих полную группу, равна 1:

Р(А 1) + Р(А 2) + …+ Р(А n) = 1. (8)

В экономических исследованиях значения и в формуле могут интерпретироваться по-другому. При статистическом определении вероятности события под понимается количество наблюдений результатов эксперимента, в которых событие встречалось ровно раз. В этом случае отношение называется относительной частотой (частостью) события

События А, В называются независимыми , если вероятности каждого из них не зависит от того, произошло или нет другое событие. Вероятности независимых событий называются безусловными .

События А, В называются зависимыми , если вероятность каждого из них зависит от того, произошло или нет другое событие. Вероятность события В, вычисленная в предположении, что другое событие А уже осуществилось, называется условной вероятностью .

Если два события А и В – независимые, то справедливы равенства:

Р(В) = Р(В/А), Р(А) = Р(А/В) или Р(В/А) – Р(В) = 0 (9)

Вероятность произведения двух зависимых событий А, В равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого:

Р(АВ) = Р(В) ∙ Р(А/В) или Р(АВ) = Р(А) ∙ Р(В/А) (10)

Вероятность события В при условии появления события А:

Вероятность произведения двух независимых событий А, В равна произведению их вероятностей:

Р(АВ) = Р(А) ∙ Р(В) (12)

Если несколько событий попарно независимы, то отсюда еще не следует их независимость в совокупности.

События А 1 , А 2 , …, А n (n>2) называются независимыми в совокупности, если вероятность каждого из них не зависит от того, произошли или нет любые события из числа остальных.

Вероятность совместного появления нескольких событий, независимых в совокупности, равна произведению вероятностей этих событий:

Р(А 1 ∙А 2 ∙А 3 ∙…∙А n) = Р(А 1)∙Р(А 2)∙Р(А 3)∙…∙Р(А n). (13)

Различают события зависимые и независимые. Два события называются независимыми, если появление одного из них не изменяет вероятность появления другого. Например, если в цехе работают две автоматические линии, по условиям производства не взаимосвязанные, то остановки этих линий являются независимыми событиями.

Несколько событий называются независимыми в совокупности , если любое из них не зависит от любого другого события и от любой комбинации остальных.

События называются зависимыми , если одно из них влияет на вероятность появления другого. Например, две производственные установки связаны единым технологическим циклом. Тогда вероятность выхода из строя одной из них зависит от того, в каком состоянии находится другая. Вероятность одного события B, вычисленная в предположении осуществления другого события A, называется условной вероятностью события Bи обозначается P{A|B}.

Условие независимости события B от события A записывают в виде P{B|A}=P{B}, а условие его зависимости - в виде P{B|A}≠P{B}.

Вероятность события в испытаниях Бернулли. Формула Пуассона.

Повторными независимыми испытаниями, испытаниями Бернулли или схемой Бернулли называются такие испытания, если при каждом испытании имеются только два исхода - появление события А или и вероятность этих событий остается неизменной для всех испытаний. Эта простая схема случайных испытаний имеет большое значение в теории вероятностей.

Наиболее известным примером испытаний Бернулли является опыт с последовательным бросанием правильной (симметричной и однородной) монеты, где событием А является выпадение, например, "герба", ("решки").

Пусть в некотором опыте вероятность события А равна P(А)=р , тогда , где р+q=1. Выполним опыт n раз, предположив, что отдельные испытания независимы, а значит исход любых из них не связан с исходами предыдущих (или последующих) испытаний. Найдем вероятность появления событий А точно k раз, скажем только в первых k испытаниях. Пусть - событие, заключающееся в том, что при n испытаниях событие А появиться точно k раз в первых испытаниях. Событие можно представить в виде

Поскольку опыты мы предположили независимыми, то

41)[стр2] Если ставить вопрос о появлении события А k-раз в n испытаниях в произвольном порядке, то событие представимо в виде

Число различных слагаемых в правой части этого равенства равно числу испытаний из n по k , поэтому вероятность событий , которую будем обозначать , равна

Последовательность событий образует полную группу независимых событий . Действительно, из независимости событий получаем

Общая постановка задачи: известны вероятности некоторых событий, а вычислить нужно вероятности других событий, которые связаны с данными событиями. В этих задачах возникает необходимость в таких действиях над вероятностями, как сложение и умножение вероятностей.

Например, на охоте проиведены два выстрела. Событие A - попадание в утку с первого выстрела, событие B - попадание со второго выстрела. Тогда сумма событий A и B - попадание с первого или второго выстрела или с двух выстрелов.

Задачи другого типа. Даны несколько событий, например, монета подбрасывается три раза. Требуется найти вероятность того, что или все три раза выпадет герб, или того, что герб выпадет хотя бы один раз. Это задача на умножение вероятностей.

Сложение вероятностей несовместных событий

Сложение вероятностей используется тогда, когда нужно вычислить вероятность объединения или логической суммы случайных событий.

Сумму событий A и B обозначают A + B или A ∪ B . Суммой двух событий называется событие, которое наступает тогда и только тогда, когда наступает хотя бы одно из событий. Это означает, что A + B – событие, которое наступает тогда и только тогда, когда при наблюдении произошло событие A или событие B , или одновременно A и B .

Если события A и B взаимно несовместны и их вероятности даны, то вероятность того, что в результате одного испытания произойдёт одно из этих событий, рассчитывают, используя сложение вероятностей.

Теорема сложения вероятностей. Вероятность того, что произойдёт одно из двух взаимно несовместных событий, равна сумме вероятностей этих событий:

Например, на охоте произведены два выстрела. Событие А – попадание в утку с первого выстрела, событие В – попадание со второго выстрела, событие (А + В ) – попадание с первого или второго выстрела или с двух выстрелов. Итак, если два события А и В – несовместные события, то А + В – наступление хотя бы одного из этих событий или двух событий.

Пример 1. В ящике 30 мячиков одинаковых размеров: 10 красных, 5 синих и 15 белых. Вычислить вероятность того, что не глядя будет взят цветной (не белый) мячик.

Решение. Примем, что событие А – «взят красный мячик», а событие В – «взят синий мячик». Тогда событие - «взят цветной (не белый) мячик». Найдём вероятность события А :

и события В :

События А и В – взаимно несовместные, так как если взят один мячик, то нельзя взять мячики разных цветов. Поэтому используем сложение вероятностей:

Теорема сложения вероятностей для нескольких несовместных событий. Если события составляют полное множество событий, то сумма их вероятностей равна 1:

Сумма вероятностей противоположных событий также равна 1:

Противоположные события образуют полное множество событий, а вероятность полного множества событий равна 1.

Вероятности противоположных событий обычно обозначают малыми буквами p и q . В частности,

из чего следуют следующие формулы вероятности противоположных событий:

Пример 2. Цель в тире разделена на 3 зоны. Вероятность того что некий стрелок выстрелит в цель в первой зоне равна 0,15, во второй зоне – 0,23, в третьей зоне – 0,17. Найти вероятность того, что стрелок попадет в цель и вероятность того, что стрелок попадёт мимо цели.

Решение: Найдём вероятность того, что стрелок попадёт в цель:

Найдём вероятность того, что стрелок попадёт мимо цели:

Задачи посложнее, в которых нужно применять и сложение и умножение вероятностей - на странице "Различные задачи на сложение и умножение вероятностей" .

Сложение вероятностей взаимно совместных событий

Два случайных события называются совместными, если наступление одного события не исключает наступления второго события в том же самом наблюдении. Например, при бросании игральной кости событием А считается выпадение числа 4, а событием В – выпадение чётного числа. Поскольку число 4 является чётным числом, эти два события совместимы. В практике встречаются задачи по расчёту вероятностей наступления одного из взаимно совместных событий.

Теорема сложения вероятностей для совместных событий. Вероятность того, что наступит одно из совместных событий, равна сумме вероятностей этих событий, из которой вычтена вероятность общего наступления обоих событий, то есть произведение вероятностей. Формула вероятностей совместных событий имеет следующий вид:

Поскольку события А и В совместимы, событие А + В наступает, если наступает одно из трёх возможных событий: или АВ . Согласно теореме сложения несовместных событий, вычисляем так:

Событие А наступит, если наступит одно из двух несовместных событий: или АВ . Однако вероятность наступления одного события из нескольких несовместных событий равна сумме вероятностей всех этих событий:

Аналогично:

Подставляя выражения (6) и (7) в выражение (5), получаем формулу вероятности для совместных событий:

При использовании формулы (8) следует учитывать, что события А и В могут быть:

• взаимно независимыми;
• взаимно зависимыми.

Формула вероятности для взаимно независимых событий:

Формула вероятности для взаимно зависимых событий:

Если события А и В несовместны, то их совпадение является невозможным случаем и, таким образом, P (AB ) = 0. Четвёртая формула вероятности для несовместных событий такова:

Пример 3. На автогонках при заезде на первой автомашине вероятность победить , при заезде на второй автомашине . Найти:

• вероятность того, что победят обе автомашины;
• вероятность того, что победит хотя бы одна автомашина;

1) Вероятность того, что победит первая автомашина, не зависит от результата второй автомашины, поэтому события А (победит первая автомашина) и В (победит вторая автомашина) – независимые события. Найдём вероятность того, что победят обе машины:

2) Найдём вероятность того, что победит одна из двух автомашин:

Задачи посложнее, в которых нужно применять и сложение и умножение вероятностей - на странице "Различные задачи на сложение и умножение вероятностей" .

Решить задачу на сложение вероятностей самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 4. Бросаются две монеты. Событие A - выпадение герба на первой монете. Событие B - выпадение герба на второй монете. Найти вероятность события C = A + B .

Умножение вероятностей

Умножение вероятностей используют, когда следует вычислить вероятность логического произведения событий.

При этом случайные события должны быть независимыми. Два события называются взаимно независимыми, если наступление одного события не влияет на вероятность наступления второго события.

Теорема умножения вероятностей для независимых событий. Вероятность одновременного наступления двух независимых событий А и В равна произведению вероятностей этих событий и вычисляется по формуле:

Пример 5. Монету бросают три раза подряд. Найти вероятность того, что все три раза выпадет герб.

Решение. Вероятность того, что при первом бросании монеты выпадет герб , во второй раз , в третий раз . Найдём вероятность того, что все три раза выпадет герб:

Решить задачи на умножение вероятностей самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 6. Имеется коробка с девятью новыми теннисными мячами. Для игры берут три мяча, после игры их кладут обратно. При выборе мячей игранные от неигранных не отличают. Какова вероятность того, что после трёх игр в коробке не останется неигранных мячей?

Пример 7. 32 буквы русского алфавита написаны на карточках разрезной азбуки. Пять карточек вынимаются наугад одна за другой и укладываются на стол в порядке появления. Найти вероятность того, что из букв получится слово "конец".

Пример 8. Из полной колоды карт (52 листа) вынимаются сразу четыре карты. Найти вероятность того, что все эти четыре карты будут разных мастей.

Пример 9. Та же задача, что в примере 8, но каждая карта после вынимания возвращается в колоду.

Задачи посложнее, в которых нужно применять и сложение и умножение вероятностей, а также вычислять произведение нескольких событий - на странице "Различные задачи на сложение и умножение вероятностей" .

Вероятность того, что произойдёт хотя бы одно из взаимно независимых событий , можно вычислить путём вычитания из 1 произведения вероятностей противоположных событий , то есть по формуле.

События А, Б, В... называют зависимыми друг от друга, если вероятность появления хотя бы одного из них изменяется в зависимости от появления или непоявления других событий. События называются независимыми , если вероятности появления каждого из них не зависят от появления или непоявления прочих из них.

Условной вероятностью (РA (В)-условная вероятность события В относительно А) называют вероятность события В, вычисленную в предположении, что событие А уже наступило. пример условной вероятности Условная вероятность события В при условии, что событие А уже наступило, по определению, равна РA (В) = Р (АВ) / Р (А) (Р(A)>0).

Умножения вероятностей зависимых событий: вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило:
Р (АВ) = Р (А) РA (В)

Пример . У сборщика имеется 3 конусных и 7 эллиптических валиков. Сборщик взял один валик, а затем второй. Найти вероятность того, что первый из взятых валиков - конусный, а второй - эллиптический.

Решение: Вероятность того, что первый валик окажется конусным (событие A), Р (А) = 3 / 10. Вероятность того, что второй валик окажется эллиптическим (событие В), вычисленная в предположении, что первый валик - конусный, т. е. условная вероятность РA (В) = 7 / 9.
По формуле умножения, искомая вероятность Р (АВ) = Р (А) РA (В) = (3 / 10) * (7 / 9) = 7 / 30. Заметим, что, сохранив обозначения, легко найдем: Р (В) = 7 / 10, РB (А) = 3 / 9, Р (В) РB (А) = 7 / 30

Условие независимости событий. Умножение вероятностей независимых событий. Примеры.

Событие В не зависит от события А, если

Р(В/А) = Р(В) т.е. вероятность события В не зависит от того, произошло ли событие А.

В этом случае и событие А не зависит от события В, тоесть свойство независимости событий является взаимным.

Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению их вероятностей:

Р(АВ) = Р(А)Р(В) .

Пример 1: Прибор, работающий в течение времени t, состоит из трех узлов, каждый из которых, независимо от других, может в течение времени t отказать (выйти из строя). Отказ хотя бы одного узла приводит к отказу прибора в целом. За время t надежность (вероятность безотказной работы) первого узла равна p 1 = 0,8; второго p 2 = 0,9 третьего p 3 = 0,7. Найти надежность прибора в целом.

Решение. Обозначая:

A – безотказная работа приборов,

A 1 - безотказная работа первого узла,

A 2 - безотказная работа второго узла,

A 3 - безотказная работа третьего узла,

откуда по теореме умножения для независимых событий

P(A) = P(A 1)P(A 2)P(A 3) = p 1 p 2 p 3 = 0,504

Пример 2 . Найти вероятность совместного появления цифры при одном подбрасывании двух монет.

Решение . Вероятность появления цифры первой монеты (событие А) Р(А) = 1/2; вероятность появления цифры второй монеты (событие В)- Р(В) = 1/2.

События А и В независимы, поэтому искомую вероятность найдем

по формуле:

Р(АВ) = Р(А)Р(В) = 1/2 *1/2 = 1/4

Совместность и несовместность событий. Сложение вероятностей двух совместных событий. Примеры.

Два события называются совместными , если появление одного из них не влияет и не исключает появление другого. Совместные события могут реализоваться одновременно, как, например, появление какого-либо числа на одной кости ни

коим образом не влияет на появление чисел на другой кости. События несовместны , если в одном явлении или при одном испытании они не могут реализоваться одновременно и появление одного из них исключает появление другого (попадание в цель и промах несовместны).

Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий A или B равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

P(A+B) = P(A)+P(B)-P(AB).

Пример . Вероятность попадания в мишень для первого спортсмена 0,85, а для второго - 0,8. Спортсмены независимо друг от друга

сделали по одному выстрелу. Найти вероятность того, что в мишень попадет хотя бы один спортсмен?

Решение . Введем обозначения: события А - "попадание первого спортсмена", В - "попадание второго спортсмена", С -"попадание хотя бы одного из спортсменов". Очевидно, А + В = С, причем события А и В совместны. В соответствии с формулой получаем:

P(C) = Р(А) + Р(В) - Р(АВ)

Р(C) = Р(А)+ Р(В)-Р(А)Р(В),

поскольку А и В - независимые события. Подставив данные значения Р(А) = 0,85, Р(В) = 0,8 в формулу для Р(C) , найдем искомую вероятность

Р(С) = (0,85 + 0,8) - 0,85·0,8 = 0,97

Независимые события

При практическом применении вероятностно-статистических методов принятия решений постоянно используется понятие независимости. Например, при применении статистических методов управления качеством продукции говорят о независимых измерениях значений контролируемых параметров у включенных в выборку единиц продукции, о независимости появления дефектов одного вида от появления дефектов другого вида, и т.д. Независимость случайных событий понимается в вероятностных моделях в следующем смысле.

Определение 2. События А и В называются независимыми, если Р(АВ) = Р(А) Р(В). Несколько событий А , В , С ,… называются независимыми, если вероятность их совместного осуществления равна произведению вероятностей осуществления каждого из них в отдельности: Р (АВС …) = Р (А )Р (В )Р (С )…

Это определение соответствует интуитивному представлению о независимости: осуществление или неосуществление одного события не должно влиять на осуществление или неосуществление другого. Иногда соотношение Р (АВ ) = Р (А ) Р (В |A ) = P (B )P (A |B ), справедливое при P (A )P (B) > 0, называют также теоремой умножения вероятностей.

Утверждение 1. Пусть события А и В независимы. Тогда события и независимы, события и В независимы, события А и независимы (здесь - событие, противоположное А , и - событие, противоположное В ).

Действительно, из свойства в) в (3) следует, что для событий С и D , произведение которых пусто, P (C + D ) = P (C ) + P (D ). Поскольку пересечение АВ и В пусто, а объединение есть В , то Р(АВ) + Р(В) = Р(В). Так как А и В независимы, то Р(В) = Р(В) - Р(АВ) = Р(В) - Р(А)Р(В) = Р(В)(1 - Р(А)). Заметим теперь, что из соотношений (1) и (2) следует, что Р() = 1 – Р(А). Значит, Р(В) = Р()Р(В).

Вывод равенства Р(А) = Р(А)Р() отличается от предыдущего лишь заменой всюду А на В , а В на А .

Для доказательства независимости и воспользуемся тем, что события АВ, В, А, не имеют попарно общих элементов, а в сумме составляют все пространство элементарных событий. Следовательно, Р (АВ) + Р(В) + Р(А) + Р() = 1. Воспользовавшись ранее доказанными соотношениями, получаем, что Р(В)= 1 - Р (АВ) - Р(В)(1 - Р(А)) - Р(А)(1 - Р(В))= (1 – Р(А))(1 – Р(В)) = Р()Р(), что и требовалось доказать.

Пример 3. Рассмотрим опыт, состоящий в бросании игрального кубика, на гранях которого написаны числа 1, 2, 3, 4, 5,6. Считаем, что все грани имеют одинаковые шансы оказаться наверху. Построим соответствующее вероятностное пространство. Покажем, что события «наверху – грань с четным номером» и «наверху – грань с числом, делящимся на 3» являются независимыми.

Разбор примера. Пространство элементарных исходов состоит из 6 элементов: «наверху – грань с 1», «наверху – грань с 2»,…, «наверху – грань с 6». Событие «наверху – грань с четным номером» состоит из трех элементарных событий – когда наверху оказывается 2, 4 или 6. Событие «наверху – грань с числом, делящимся на 3» состоит из двух элементарных событий – когда наверху оказывается 3 или 6. Поскольку все грани имеют одинаковые шансы оказаться наверху, то все элементарные события должны иметь одинаковую вероятность. Поскольку всего имеется 6 элементарных событий, то каждое из них имеет вероятность 1/6. По определению 1событие «наверху – грань с четным номером» имеет вероятность ½, а событие «наверху – грань с числом, делящимся на 3» - вероятность 1/3. Произведение этих событий состоит из одного элементарного события «наверху – грань с 6», а потому имеет вероятность 1/6. Поскольку 1/6 = ½ х 1/3, то рассматриваемые события являются независимыми в соответствии с определением независимости.